Część pierwsza

\[ \]

Wielowymiarowe bayesowskie dynamiczne modele strukturalne z paczek bsvars i bsvarSIGNs dla R

\[ \]

cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

strukturalne modele VAR

identyfikacja modeli strukturalnych

modelowanie rozkładu i zmienności

Część druga

\[ \]

Analiza efektów australijskiej polityki monetarnej używając paczki bsvars

\[ \]

Analiza efektów australijskiej polityki monetarnej

ustawienie i estymacja modelu

analizy strukturalne i predyktywne

materiały

\[ \]

slajdy jako strona internetowa

repozytorium na GitHub dla reprodukcji wyników

\[ \]

bsvars.org officjalna strona

paczka bsvars na stronach CRAN

paczka bsvarSIGNs na stronach CRAN

cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

\[ \]

• bayesowska estymacja modeli strukturalnych VAR
• koherentna struktura kodu, skryptów i objektów
• świetna szybkość obliczeniowa
• najnowsze metody ekonometryczne i numeryczne
• napisane w C++ dzięki paczkom Rcpp i RcppArmadillo
• analiza danych w R

cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

• ładowanie paczki i danych

library(bsvars)
data(us_fiscal_lsuw)

• łatwa inicjalizacja modelu

spec = specify_bsvar$new(us_fiscal_lsuw)

• prosta estymacja

burn = estimate(spec, S = 1000)
post = estimate(burn, S = 10000)

• ładowanie paczki i danych

library(bsvarSIGNs)
data(optimism)

• łatwa inicjalizacja modelu

spec = specify_bsvarSIGN$new(optimism)

• prosta estymacja

post = estimate(spec, S = 10000)

cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

• analizy strukturalne

irfs = compute_impulse_responses(post , horizon = 12)
fevd = compute_variance_decompositions(post, horizon = 12)
hds  = compute_historical_decompositions(post)
ss   = compute_structural_shocks(post)
csds = compute_conditional_sd(post)
sddr = verify_identification(post)

• analizy strukturalne

irfs = compute_impulse_responses(post , horizon = 12)
fevd = compute_variance_decompositions(post, horizon = 12)
hds  = compute_historical_decompositions(post)
ss   = compute_structural_shocks(post)
csds = compute_conditional_sd(post)

cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

• analizy predyktywne

fvs  = compute_fitted_values(post)
fore = forecast(post, horizon = 12)

• wykresy i podsumowania

plot(irfs)
summary(irfs)

• analizy predyktywne

fvs  = compute_fitted_values(post)
fore = forecast(post, horizon = 12)

• wykresy i podsumowania

plot(irfs)
summary(irfs)

cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

• skrypty z przekierowaniem

library(bsvars)
data(us_fiscal_lsuw)

us_fiscal_lsuw |> 
  specify_bsvar$new() |> 
  estimate(S = 1000) |> 
  estimate(S = 10000) -> post

post |> compute_impulse_responses(horizon = 12) |> plot()
post |> compute_variance_decompositions(horizon = 12) |> plot()
post |> compute_historical_decompositions() |> plot()
post |> compute_structural_shocks() |> plot()
post |> compute_conditional_sd() |> plot()
post |> forecast(horizon = 12) |> plot()
post |> verify_identification() |> summary()

• skrypty z przekierowaniem

library(bsvarSIGNs)
data(optimism)

optimism |> 
  specify_bsvarSIGN$new() |> 
  estimate(S = 10000) -> post

post |> compute_impulse_responses(horizon = 12) |> plot()
post |> compute_variance_decompositions(horizon = 12) |> plot()
post |> compute_historical_decompositions() |> plot()
post |> compute_structural_shocks() |> plot()
post |> compute_conditional_sd() |> plot()
post |> forecast(horizon = 12) |> plot()

cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

• monitorowanie postępu

• monitorowanie postępu

strukturalne modele VAR

strukturalne modele VAR

• podstawowe dla modelowania efektów polityki ekonomicznej
• analiza dynamicznych efektów przyczynowych dobrze izolowanej przyczyny
• stosunkowo proste w pracy z danymi i dostarczają empirycznych dowodów na propagację szoków przez gospodarki i rynki
• dostarczają empirycznych faktów do uwzględnienia w modelach teoretyczne
• szeroko stosowane w: polityce pieniężnej i fiskalnej, rynku finansowym, …
• rozszerzalne: wiele wariantów specyfikacji
  • nieliniowość
  • heteroskedastyczność
  • zmienne parametry w czasie
  • modelowanie hierarchiczne bayesowskie
• zaproponowane przez Sims (1980)

strukturalne modele VAR

model.

\[\begin{align} \text{równanie VAR: }&& y_t &= \mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{A}_p y_{t-p} + \mathbf{A}_d x_{t} + \epsilon_t\\[1ex] \text{równanie structuralne: }&& \mathbf{B}\epsilon_t &= u_t\\[1ex] \text{structuralne szoki: }&& u_t |Y_{t-1} &\sim N_N\left(\mathbf{0}_N,\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_t^2\right)\right) \end{align}\]

notacja.

• \(y_t\) - wektor \(N\) zmiennych na okres \(t\)
• \(\mathbf{A}_i\) i \(\mathbf{B}\) - \(N\times N\) macierze parametrów autoregresyjnych i strukturalnych
• \(\epsilon_t\) i \(u_t\) - wektory \(N\) błędów statystycznych i szoków strukturalnych
• \(\boldsymbol\sigma_t^2\) - wektor \(N\) wariancji szoków strukturalnych

SVAR: hierarchiczne rozkłady a priori

• normalny-uogólniony normalny rozkład a priori dla \(\mathbf{A}\) i \(\mathbf{B}\)
• wielopoziomowa estymacja wariancji a priori
• rozkład a priori z Minnesoty dla niestacjonarnych szeregów czasowych
• bardziej precyzyjne estymacja i prognozowanie

• rozkład a priori normalny i odwrócony Wisharta dla \(\mathbf{A}\) i \(\mathbf{\Sigma} = (\mathbf{B}'\mathbf{B})^{-1}\)
• estymacja wariancji a priori
• rozkład a priori z Minnesoty dla niestacjonarnych szeregów czasowych
• bardziej precyzyjne estymacja i prognozowanie

SVAR: modelowanie zmienności

• homoskedastyczność \(\boldsymbol\sigma_{n.t}^2 = 1\)

• zmienność stochastyczna

• stacjonarny proces Markova dla zmienności

• nieparametryczny proces Markova dla zmienności

• rozkłady szoków

  • normalny
  • skończona mieszanka rozkładów normalnych
  • nieparametryczna mieszanka rozkładów normalnych
  • rozkład t-Studenta

• homoskedastyczność
• normalny rozkład szoków

SVAR: identyfikacja

• restrykcje zerowe
• heteroskedastyczność
• nienormalne rozkłady szoków

• restrykcje znaków
• restrykcje zerowe
• restrykcje narracyjne

strukturalne modele VAR

błędy statystyczne.

\[\begin{align} &&&\\ \text{równanie strukturalne: }&& \epsilon_t &= \mathbf{B}^{-1}u_t = \mathbf{\Theta}_0 u_t\\[1ex] \text{błędy statystyczne: }&& \epsilon_t |Y_{t-1} &\sim N_N\left(\mathbf{0}_N,\Sigma\right)\\[1ex] \text{kowariancja: }&& \mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{B}^{-1\prime} = \Theta_0\Theta_0' \end{align}\]

Notacja.

• \(\mathbf\Sigma\) - \(N\times N\) kowariancja błędów statystycznych
• \(\Theta_0 = \mathbf{B}^{-1}\) - \(N\times N\) macierz efektów strukturalnych

strukturalne modele VAR

Wstaw równanie VAR w równanie strukturalne:

\[\begin{align} \mathbf{B}y_t &= \mathbf{B}\mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{B}\mathbf{A}_p y_{t-p} + \mathbf{B}\boldsymbol\mu_0 + u_t\\[1ex] &\\ \end{align}\]

relacje strukturanlne.

Niech \(N=2\)

\[\begin{align} \mathbf{B}y_t &= \begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1t}\\y_{2t}\end{bmatrix} \end{align}\]

strukturalne modele VAR

Wstaw równanie strukturalne dla \(\epsilon_t\) w równanie VAR:

\[\begin{align} y_t &= \mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{A}_p y_{t-p} + \boldsymbol\mu_0 + \mathbf{B}^{-1}u_t\\[1ex] y_t &= \mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{A}_p y_{t-p} + \boldsymbol\mu_0 + \mathbf{\Theta}_0 u_t \end{align}\]

efekty strukturane.

Niech \(N=2\)

\[\begin{align} \begin{bmatrix}y_{1t}\\y_{2t}\end{bmatrix} &= \dots + \begin{bmatrix}\Theta_{11}&\Theta_{12}\\\Theta_{21}&\Theta_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1t}\\ u_{2t}\end{bmatrix} \end{align}\]

identyfikacja modeli strukturalnych

identyfikacja modeli strukturalnych

kowariancja i relacje strukturalne.

\[\begin{align} &\\ \mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{B}^{-1\prime}\\[1ex] \end{align}\]

• \(\mathbf\Sigma\) może być estymowana z danych
• układ równań strukturalnych do rozwiązanie dla \(\mathbf{B}\)
• \(\mathbf\Sigma\) jest macierzą symetryczną \(N\times N\)
• \(\mathbf\Sigma\) ma \(N(N+1)/2\) unikalnych elementów, tj. równań
• \(\mathbf{B}\) jest \(N\times N\) macierzą z \(N^2\) elementami do estymacji
• niewystarczająca liczba równań do estymacji \(\mathbf{B}\)
• \(\mathbf{B}\) nie jest indentyfikowalna

identyfikacja modeli strukturalnych

restrykcje zerowe.

\[\begin{align} &\\ \mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{B}^{-1\prime}\\[1ex] \end{align}\]

identyfikacja.

• jedynie \(N(N+1)/2\) elementów w \(\mathbf{B}\) może być wyestymowanych
• nałożenie \(N(N-1)/2\) restrykcji na \(\mathbf{B}\) ułatwia rozwiązanie
• wiersze w \(\mathbf{B}\) (i kolumny w \(\mathbf\Theta_0\)) identyfikowane co do znaku
• zmiana znaków wierszy w \(\mathbf{B}\) nie zmienia wartości \(\mathbf\Sigma\)
• często zakładamy trójkątną macierz \(\mathbf{B}\)

identyfikacja modeli strukturalnych

restrykcje zerowe.

Niech \(N=2\)

\[\begin{align} \begin{bmatrix}\sigma_1^2&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_2^2\end{bmatrix} &\qquad \begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}\\[1ex] \end{align}\]

• 3 unikalne elementy w \(\mathbf\Sigma\) - 3 równania
• 4 elemnty w \(\mathbf{B}\) do rozwiązania

identyfikacja.

\[\begin{align} \begin{bmatrix}\sigma_1^2&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_2^2\end{bmatrix} &\qquad \begin{bmatrix}B_{11}& 0\\ B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}\\[1ex] \end{align}\]

• 3 równania pozwalaja rozwiązać 3 niewiadome w \(\mathbf{B}\)

identyfikacja modeli strukturalnych

identyfikacja przez heteroskedastyczność.

Rozważ:

• dwie kowariancje, \(\mathbf\Sigma_1\) and \(\mathbf\Sigma_2\),
• macież \(\mathbf{B}_0\) niezmienna w czasie
• kowariancje heteroskedastycznych szoków strukturalnych \(\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_1^2\right)\) i \(\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_2^2\right)\)

\[\begin{align} \mathbf\Sigma_1 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_1^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}\\[1ex] \mathbf\Sigma_2 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_2^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime} \end{align}\]

identyfikacja modeli strukturalnych

identyfikacja przez heteroskedastyczność.

\[\begin{align} \mathbf\Sigma_1 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_1^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}\\[1ex] \mathbf\Sigma_2 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_2^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime} \end{align}\]

identyfikacja.

• \(\mathbf\Sigma_1\) i \(\mathbf\Sigma_2\) mają \(N^2+N\) unikalnych elementów
• wszystkie \(N^2\) elementy w \(\mathbf{B}_0\) mogą być wyestymowane
• oba wektory \(\boldsymbol\sigma_1^2\) i \(\boldsymbol\sigma_2^2\) mogą być wyestymowane dzięki założeniu: \(E\left[\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_i^2\right)\right] = \mathbf{I}_N\)

identyfikacja modeli strukturalnych

Rozważ uogólnienie

\[\begin{align} u_t |Y_{t-1} &\sim N_N\left(\mathbf{0}_N, \text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_t^2\right)\right)\\[1ex] \mathbf\Sigma_t &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_t^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime} \end{align}\]

identyfikacja.

• identyfikacja macierzy \(\mathbf{B}_0\) co do znaków i kolejności wierszy
• szoki są identyfikowalne jeśli wariancje warunkowe nie są proporcjonalne
• wariancje warunkowe \(\boldsymbol\sigma_t^2\) mogą być wyestymowane

modelowanie zmienności.

Wybierz model dla \(\boldsymbol\sigma_t^2\) o najlepszych właściwościach.

identyfikacja modeli strukturalnych

identyfikacja modeli strukturalnych

równanie strukturalne.

\[\begin{align} \text{relacje strukturalne:}&&\mathbf{Q}\mathbf{B}\epsilon_t &= \mathbf{Q}u_t\\[1ex] \text{efekty strukturalne:}&&\epsilon_t &= \mathbf{\Theta}_0\mathbf{Q}'\mathbf{Q} u_t\\[1ex] \end{align}\]

identyfikacja co do macierzy obrotu.

\[\begin{align} \mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{Q}'\mathbf{Q}\mathbf{B}^{-1\prime} = \mathbf{\Theta}_0\mathbf{Q}'\mathbf{Q}\mathbf{\Theta}_0^{\prime}\\[1ex] \mathbf{Q}'\mathbf{Q} &= \mathbf{I}_N\\[1ex] \end{align}\]

• funkcja wiarygodności nie zależy od \(\mathbf{Q}\)
• identyfikacja modely zawęża typ \(\mathbf{Q}\)
• restrykcje zerowe zmieniają typ macierzy \(\mathbf{Q}\) do diagonalnej z elementami \(\pm1\)

identyfikacja modeli strukturalnych

restrykcje znaku.

\[\begin{align} \text{relacje strukturalne:}&&\tilde{\mathbf{B}}\epsilon_t &= \tilde{u}_t\\[1ex] \text{efekty strukturalne:}&&\epsilon_t &= \tilde{\mathbf{\Theta}}_0\tilde{u}_t\\[1ex] \end{align}\]

• restrykcje na znak elementów w \(\tilde{\mathbf{B}}\) i/lub \(\tilde{\mathbf{\Theta}}_0\)
• zawęża zbiór identyfikowalny: model jest identyfikowalny co do macierzy obrotu \(\mathbf{Q}\) koherentnej z restrykcjami
• estymacja ma za cel przybliżenie zbioru identyfikowalnego

restrykcje znaku i zerowe.

• restrykcje zerowe i na znak elementów w \(\tilde{\mathbf{B}}\) i/lub \(\tilde{\mathbf{\Theta}}_0\)
• zawęża zbiór identyfikowalny

identyfikacja modeli strukturalnych

restrykcje narracyjne.

• restrykcje na znak elementów lub wielkości \(u_t\) lub \(\tilde{u}_t\)
• restrykcje w oparciu na narrację, teorię ekonomii i konsensus naukowy
• należy dostosować metody estymacji
• zawęża zbiór identyfikowalny

nowa cecha.

• restrykcje zerowe, narracyjne i na znak w jednym modelu w paczce bsvarSIGNs

modelowanie rozkładu i zmienności

niescentrowana zmienność stochastyczna

\[\begin{align} &\\ \text{wariancja warunkowa:}&&\sigma_{n.t}^2 &= \exp\left\{\omega_n h_{n.t}\right\}\\ \text{w skali log:}&&h_{n.t} &= \rho_n h_{n.t-1} + v_{n.t}\\ \text{innowacje zmienności:}&&v_{n.t}&\sim N\left(0,1\right)\\ \end{align}\]

• świetna zdolność do prognozowania
• normalizajca \(\sigma_{n.t}^2 = 1\)
• verify_identification() przez ocene restrykcji \(H_0:\omega_n = 0\)

scentrowana zmienność stochastyczna

\[\begin{align} &\\ \text{wariancja warunkowa:}&&\sigma_{n.t}^2 &= \exp\left\{ \tilde{h}_{n.t}\right\}\\ \text{w skali log:}&&\tilde{h}_{n.t} &= \rho_n \tilde{h}_{n.t-1} + \tilde{v}_{n.t}\\ \text{innowacje zmienności:}&&\tilde{v}_{n.t}&\sim N\left(0,\omega_n^2\right)\\ \end{align}\]

• świetna zdolność do prognozowania

zmienność stochastyczna: rozkłady a priori

proces Markowa dla zmienności.

\[\begin{align} &\\ \text{szoki strukturalne:}&&\mathbf{u}_t\mid s_t \sim N\left( \mathbf{0}_N, \text{diag}\left(\boldsymbol{\sigma}_{s_t}^2\right) \right)\\ \text{a priori:}&& M^{-1}\left(\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2\right) \sim Dirichlet(\underline{a}\boldsymbol\imath')\\ \text{proces Markowa:}&& s_t\sim \text{Markov}(\mathbf{P},\boldsymbol\pi_0) \end{align}\]

• modelowanie proces Markowa dla zmienności
• zapewnia identyfikację
• poprawa zdolności do prognozowania
• verify_identification() przez ocenę restrykcji \(H_0:\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2 = 1\)

mieszanka rozkładów normalnych.

\[\begin{align} &\\ \text{szoki strukturalne:}&&\mathbf{u}_t\mid s_t \sim N\left( \mathbf{0}_N, \text{diag}\left(\boldsymbol{\sigma}_{s_t}^2\right) \right)\\ \text{a priori:}&& M^{-1}\left(\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2\right) \sim Dirichlet(\underline{a}\boldsymbol\imath')\\ \text{prawdopodobieństwo:}&& Pr[s_t]=\boldsymbol\pi_0 \end{align}\]

• modelowanie mieszanki rozkładów normalnych
• zapewnia identyfikację
• verify_identification() przez ocenę restrykcji \(H_0:\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2 = 1\)

rozkład t-studenta.

\[\begin{align} &&&\\ \text{szoki strukturalne:}&&\mathbf{u}_t\mid\mathbf{x}_t &\sim t\left( \mathbf{0}_N, \mathbf{I}_N, \nu \right) \end{align}\]

• \(\nu\) - szacowane z danych stopnie swobody
• grube ogony zapewniają identyfikację
• poprawa zdolności do prognozowania
• verify_identification() przez ocenę restrykcji \(H_0:\nu \rightarrow\infty\)

Australian Monetary Policy Analysis

\[ \]

Download reproduction script

Australian Monetary Policy Analysis

System of four variables.

Based on Turnip (2017)

\[\begin{align} y_t = \begin{bmatrix} \Delta rgdp_t & \pi_t & cr_t & \Delta rtwi_t \end{bmatrix}' \end{align}\]

A lower-triangular identification pattern.

\[\begin{align} \begin{bmatrix} B_{11}&0&0&0\\ B_{21}&B_{22}&0&0\\ B_{31}&B_{32}&B_{33}&0\\ B_{41}&B_{42}&B_{43}&B_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta rgdp_t \\ \pi_t \\ cr_t \\ \Delta rtwi_t \end{bmatrix} \end{align}\]

Four-Variable Monetary System

# Gross domestic product (GDP); Chain volume
rgdp_dwnld      = readrba::read_rba(series_id = "GGDPCVGDP")
rgdp_tmp        = xts::xts(rgdp_dwnld$value, rgdp_dwnld$date, tclass = 'yearqtr')
drgdp           = na.omit(400 * diff(log(rgdp_tmp)))
drgdp           = xts::to.quarterly(drgdp, OHLC = FALSE)

# Consumer price index; All groups; Quarterly change (in per cent)
picpi_dwnld     = readrba::read_rba(series_id = "GCPIAGSAQP")
pi              = 4 * xts::xts(picpi_dwnld$value, picpi_dwnld$date, tclass = 'yearqtr')
pi              = xts::to.quarterly(pi, OHLC = FALSE)

# Interbank Overnight Cash Rate
cr_dwnld        = readrba::read_rba(series_id = "FIRMMCRID")   # Cash Rate Target
cr_tmp          = xts::xts(cr_dwnld$value, cr_dwnld$date)
cr              = xts::to.quarterly(cr_tmp, OHLC = FALSE)

# Real Trade-Weighted Index
rtwi_dwnld      = readrba::read_rba(series_id = "FRERTWI")
rtwi_tmp        = xts::xts(rtwi_dwnld$value, rtwi_dwnld$date, tclass = 'yearqtr')
rtwi            = 100 * na.omit(diff(log(rtwi_tmp)))
drtwi            = xts::to.quarterly(rtwi, OHLC = FALSE)

y               = na.omit(merge(drgdp, pi, cr, drtwi))
plot(y, main = "Australian monetary system",
     legend.loc = "bottomleft", col = c("#FF00FF","#990099","#77001b","#330033"))

Four-Variable Monetary System

Model Estimation

Lower-triangular model with zero prior mean for \(\mathbf{A}\).

# estimation - lower-triangular model
############################################################
library(bsvars)
set.seed(123)

spec = specify_bsvar$new(
  as.matrix(y), 
  p = 4, 
  stationary = rep(TRUE, 4)
)
spec |>
  estimate(S = 1000) |>
  estimate(S = 5000) -> post

**************************************************|
bsvars: Bayesian Structural Vector Autoregressions|
**************************************************|
 Gibbs sampler for the SVAR model                 |
**************************************************|
 Progress of the MCMC simulation for 1000 draws
    Every draw is saved via MCMC thinning
 Press Esc to interrupt the computations
**************************************************|
**************************************************|
bsvars: Bayesian Structural Vector Autoregressions|
**************************************************|
 Gibbs sampler for the SVAR model                 |
**************************************************|
 Progress of the MCMC simulation for 5000 draws
    Every draw is saved via MCMC thinning
 Press Esc to interrupt the computations
**************************************************|

Compute impulse responses

post |> 
  compute_impulse_responses(horizon = 20) |> 
  plot()

Compute forecast error variance decompositions

post |> 
  compute_variance_decompositions(horizon = 20) |> 
  plot()

Compute structural shocks

post |> 
  compute_structural_shocks() |> 
  plot()

Compute fitted values

post |> 
  compute_fitted_values() |> 
  plot()

Compute forecasts

post |> 
  forecast(horizon = 8) |> 
  plot(data_in_plot = 0.3)